WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 


«7 класс, разная геометрия 1. В остроугольном треугольнике ABC с углом A = 60 проведены биссектриса AL, медиана BM и высота CH. Докажите, что ...»

7 класс, разная геометрия

1. В остроугольном треугольнике ABC с углом A = 60 проведены биссектриса AL, медиана BM и высота CH. Докажите, что LM = LH.

2. Может ли каждая из диагоналей выпуклого пятиугольника быть меньше противоположной стороны?

3. В треугольнике стороны AB и AC равны. Медианы BN и CM пересекаются в точке O. NBC = 20. Чему равен NCО?

4. В пятиугольнике ABCDE угол A равен 60, а остальные углы равны между собой. Докажите, что AB=ED+DC.

5. Пусть AM медиана треугольника ABC, точка P середина медианы AM. И пусть луч BP пересекает сторону AC в точке N. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что NP– биссектриса угла ANM и BAC =NMC.

6. В остроугольном треугольнике ABC проведены высота AH, медиана BM и биссектриса CL. Точки пересечения этих трех линий образуют треугольник. Может ли этот треугольник быть правильным?

7. В треугольнике ABC биссектриса AL равна стороне AC. Докажите, что A < 120

8. Дан прямоугольник ABCD, у которого AB > BC. На стороне AB отмечены точки K и L такие, что K лежит между A и L и KL = BC. Докажите, что KD+LC < 0,5P.

9. На стороне CD трапеции ABCD (AD || BC) отмечена точка E такая, что BC = DE, EAD = 70, BEC = 50. Докажите, что AD+CE > AE.

10. Вершины замкнутой несамопересекающейся ломаной совпадают с вершинами куба. Доказать, что у этой ломаной существует 4 звена одинаковой длины.

7 класс, треугольник Паскаля

1. Докажите, что.2. Докажите, чтоCn0-Cn1+Cn2-+-1nCnn=0.3. Докажите, что: а) каждое число С в треугольнике Паскаля равно сумме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом С; б) аналогично, с заменой правой диагонали на левую, и наоборот.

4. Докажите, что

5. Докажите, что каждое число треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число С (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются).

6. Докажите, что из n предметов нечетное число предметов можно выбрать 2n–1 способам

7. Сколько слагаемых будет в выражении (a+b)n после раскрытия скобочек, но до приведения подобных? После приведения подобных?,8. а) Некто раскрывает скобочки в выражении (x+y)25. Какой коэффициент у него будет при слагаемом x10y15? б) Докажите, что коэффициенты, которые получились у Арагорна при раскрытии (x+y)25, в точности составляют 25-ю строку треугольника Паскаля.

9. а) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

422338519051 1 1 1 1 1 1 1 1...

1 2 1 2 3 4 5 6 7...

1 3 3 4 3 7 12 18 25...

1 4 7 11 11 14 12 30 55...

1 5 12 23 34 48 48 60 55...

.................................

001 1 1 1 1 1 1 1 1...

1 2 1 2 3 4 5 6 7...

1 3 3 4 3 7 12 18 25...

1 4 7 11 11 14 12 30 55...

1 5 12 23 34 48 48 60 55...

.................................

б) В выражении (М+А+Т+Е+Р+И+К)10 раскрыли скобки и привели подобные. Какой будет коэффициент при слагаемом М2А3Т2Е1Р0И1К1?

10. Вырежем в бесконечной прямоугольной таблице некоторые клетки так, как показано на рисунке (вырезанных клеток бесконечно много). Остальные клетки заполним по принципу треугольника Паскаля: число в каждой клетке есть сумма соседей сверху и слева (числа в вырезанных клетках считаем равными нулю). Докажите, что слева от вырезанной клетки стоит всегда вдвое большее число, чем сверху.





11. Имеется сеть дорог в виде квадратной сетки. Из ресторана в левой нижней точке вышло 2048 человек. Выйдя на улицу, группа разделилась – половина пошла вверх, половина – направо. На следующем перекрестке каждая группа опять разделилась ровно пополам, и половина пошла вверх, половина – направо. Все идут равномерно с одной скоростью. Сколько человек встретится на правой верхней точке квадрата 55?

12. Из ресторана вышла толпа в 4096 человека. Ровно половина из них пошла направо, а половина – налево. Через полчаса каждая группа разделилась пополам – половина пошла дальше, а половина повернулась обратно. Так происходило каждые полчаса. Найдите, сколько народу будет в каждой точке дороги через 4 часа (все идут с одинаковой скоростью, 2 км/ч)

7 класс, шары и перегородки

13. a) Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

b) Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров (на этот раз некоторые ящики могут оказаться пустыми)?

Указание. Попробуйте свести задачу к предыдущей.

Определение. Числом сочетаний с повторениями из n элементов по k называется количество способов выбрать k элементов из данных элементов n различных видов. Оно обозначается Cnk14. Докажите, что Cnk=Cn+k-1n-1=Cn+k-1k.15. В магазине есть 10 типов марок, каждого типа – очень много. a) Сколькими способами можно купить 15 марок в магазине? b) А так, чтобы марки каждого типа присутствовали?

16. Сколькими способами число 100 можно представить в виде пяти неотрицательных слагаемых, если порядок слагаемых важен?

17. а) Сколько различных делителей есть у числа 102016? б) Сколькими способами число 105 можно представить в виде произведения трех натуральных сомножителей? Представления, отличающиеся только порядком, считаются различными.

18. Сколько различных последовательностей можно записать: а) из 31 единицы и 6 нулей? б) из 31 единицы и 6 нулей, если нули не должны стоять ни на первом, ни на последнем местах? в) из 31 единицы и 6 нулей, если нули не должны стоять ни на первом, ни на последнем местах, ни два подряд?

19. Сколькими способами можно выложить в ряд 3 красных, 4 зелёных и 5 жёлтых шаров так, чтобы все красные шары были рядом?

20. Сколькими способами можно выложить в ряд 7 разноцветных шаров так, чтобы красный шар лежал раньше зелёного, а зелёный раньше жёлтого?

21. На полке стоит 12 различных книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг, никакие две из которых не стоят рядом?

22. a) Сколькими способами можно расставить 9 ладей на доске 99 так, чтобы они не били друг друга?

b) Сколькими способами можно расставить 12 ладей на доску размера 99 так, чтобы каждая ладья била ровно одну другую?

23. В марсианском языке 3 буквы – А, О и Ъ. По старому фонетическому правилу, два Ъ не могут стоять рядом. Других правил нет. Сколько слов из 15 букв (каждой буквы по 5) есть в этом языке?

7 класс, начнем индукцию

1. В шеренгу стоят несколько новобранцев. После команды «Налево» каждый из них повернулся в какую-то сторону. Затем каждую секунду происходило следующее. Если какой-нибудь солдат видел перед собой лицо другого, то он поворачивался кругом. Докажите, что рано или поздно они перестанут поворачиваться.

247654076702. С крыши дома на землю спущена лестница. На каждой её ступеньке укреплёна стрелка, указывающая либо вверх, либо вниз. На одной из ступенек стоит человек. В соответствии с направлением стрелки он переходит на одну из соседних ступенек. С этой ступеньки он переходит на соседнюю с ней по направлению её стрелки, и так далее. Как только человек покидает какую-либо ступеньку, её стрелка меняет направление на противоположное. Докажите, что рано или поздно человек либо сойдёт на землю, либо попадет на крышу.

3. Докажите, что доску nn с вырезанной клеткой можно разрезать на уголки. а) n=4; б) n=8; в) n=64

right63504. (Игра "Ханойская башня") Имеется пирамида с n кольцами возрастающих размеров и еще два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что можно переложить все кольца с первого стержня на один из пустых стержней за 2n-1 перекладывание.

5. Докажите, что в любом дереве с N вершинами ровно N-1 ребро.

6. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета. (Соседние области – это области, имеющие общий участок границы.)

7. На плоскости даны N прямых общего положения. Найти число частей, на которые они делят эту плоскость.

8. Натуральное число умножили на 2. Докажите, что сумма всех его делителей возросла не более, чем в 3 раза.

9. Докажите, что любой многоугольник можно разбить на треугольники непересекающимися диагоналями (считаем известным факт, что в любом многоугольнике есть хотя бы одна диагональ, полностью лежащая внутри него).

10. В концах диаметра полуокружности стоят единицы. Каждая из полуокружностей делится пополам и в ее середине пишется число, равное сумме чисел на концах. То же проделывается с каждой из получившихся дуг и т.д. Чему равна сумма всех получившихся чисел после операции?

7 класс, индукция-2

11. Докажите, что модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит сумму их модулей а) для двух чисел; б) для тех слагаемых; в) для произвольного числа слагаемых. А нужно ли доказывать это для одного слагаемого?

12. Докажите, что число 111…1 (729 единиц) делится на 729.

13. В шеренгу выстроились 100 человек, каждый из которых рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Первый сказал: «Количество рыцарей среди нас делитель числа 1», второй сказал: «Количество рыцарей среди нас делитель числа 2» и т.д., вплоть до сотого, который сказал: «Количество рыцарей среди нас делитель числа 100». Сколько в шеренге рыцарей?

14. Докажите с помощью перебора остатков и с помощью метода математической индукции, что при всех nN а) 4n+15n–1 делится на 9; б) 32n+2+8n–9 делится на 16.

15. Докажите тождества методом математической индукции

а) ; б) ;

в) ; г).

16. В компании из k человек (k>3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k-4 разговора все они могут узнать все новости.

17. На турнир приехал 101 человек. Известно, что среди любых 100 из них есть человек, знакомый со всеми остальными. Докажите, что найдется человек, который знаком со всеми остальными.

18. Докажите, что любое число можно представить как сумму нескольких различных степеней двойки (т.е. перевести его в двоичную систему счисления).

19. На ребрах полного графа случайным образом расставлены стрелки (т.е. каждое ребро имеет какое-то направление). Докажите, что существует маршрут по стрелкам, который проходит через каждый город РОВНО один раз (начало и конец маршрута можно выбирать произвольно).

20. Назовем правильной раскраской такую раскраску вершин графа, при которой любые две смежные вершины (т.е. соединенные ребром) раскрашены в разные цвета. а) Пусть в графе степень любой вершины не больше, чем d. Докажите, что этот граф можно правильно раскрасить в d+1 цвет.

б) Пусть в графе степень любой вершины не больше, чем d, при этом есть хотя бы одна вершина, степень которой меньше d. Докажите, что этот граф можно правильно раскрасить в d цветов.

7 класс, индукция в графах

21. Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2,..., n, n.

22. Докажите, что если в дереве n вершин, то в нем n–1 вершина.

23. Докажите, что в любом связном графе можно выделить остовное дерево (то есть дерево, все вершины и все ребра которого являются вершинами и ребрами данного графа).

24. Двадцать команд сыграли круговой турнир по волейболу. Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й,..., 19-я – у 20-й.

25. На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

26. В компании из 2n + 1 человека для любых n человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

27. Докажите равенство Cn0+Cn-11+Cn-22+…=Fn+1. (Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

28. В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более, чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.

29. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны. Докажите, что двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой.

30. а) Докажите, что если в связном графе все вершины четные, то в нем существует путь, который проходит по каждому ребру РОВНО один раз (эйлеров путь).

б) Докажите аналогичное утверждение, если в графе ровно две нечетные вершины.

 В государстве 5 городов. Докажите, что их нельзя попарно соединить дорогами так, чтобы дороги не пересекались.

Докажите, что а) в любом планарном графе найдется вершина степени не более, чем 5; б) в любой карте найдется либо вершина степени не более, чем 3, либо страна, ограниченная тремя ребрами.

right52778200Пусть в двудольной карте V 4.a) Докажите, что E2F.б) Докажите, что E2V-4.

В деревне есть 3 дома и 3 колодца. Докажите, что нельзя соединить непересекающимися дорогами каждый дом с каждым колодцем.

Докажите (без перебора картинок) непланарность полного графа, в котором не менее 5 вершин.

Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причем так, что каждая его вершина является вершиной по крайне мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не менее 13.

Дана карта. Докажите, что можно добавить несколько ребер так, чтобы в каждой грани было ровно по 3 ребра.

Докажите, что если в связном планарном графе каждую грань ограничивают ровно k ребер (k>3), то верно соотношение Е(k-2)=k(V-2).

right7639600




Похожие работы:

«ПРОТОКОЛ № 02/09/2016 Заседания Совета Ассоциации "Единое объединение проектировщиков по Ленинградской области и Северо-Западу" (далее – Ассоциация) 02.09.2016 г. Всего членов Совета Ассоциации – 3 Присутствует –2, заседание правомочно Кворум для голосования имеется. Пол...»

«СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯЭКСПЕРТИЗА ТОВАРОВ И УСЛУГ:   АВК-Эксперт, ООО410056, г. Саратов, ул. Мичурина, 48тел. (8452) 73-40-07, ф. 73-45-69; Агентство ООО "Эксперт"410012, г. Саратов, ул. Слонова, 1, офис 88тел. (8452) 24-77-24, 58-57-51; e-mail: agentstvo.expert@gmail.ru О...»

«Приложение к Оперативному бюллетеню МСЭ№ 1117 – 1.II.2017 МЕЖДУНАРОДНЫЙ СОЮЗ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ БСЭБЮРО СТАНДАРТИЗАЦИИЭЛЕКТРОСВЯЗИ МСЭ ДОПОЛНЕНИЕ К РЕКОМЕНДАЦИИ МСЭ-Т Е.212 (09/2016) _СПИСОК КОДОВ СТРАНЫ ИЛИ ГЕОГРА...»

«ПОЛОЖЕНИЕ о проведении акции "ПОДАРИ КНИГУ СВОЕЙ БИБЛИОТЕКЕ", посвященной празднованию 90-летия со дня образования Тюменского района1. Общие положения1.1 Настоящее положение определяет цели, задачи и порядок прове...»

«Рабочая программа курса"СОВРЕМЕННЫЕ СПУТНИКОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ" Аннотация Программа предназначена для повышения квалификации специалистов в области современных спутниковых технологий и современного сп...»

«ОТЧЕТ перед населением о результатах оперативно-служебной участкового уполномоченного полиции ОП №1 ОМВД России по Нефтеюганскому району ст. лейтенанта полиции Бабскова В.В. за третий квартал 2015 года гп. Пойковский 06.09....»

«Владимир Кузнецов Весна на Марсе Логика названий Доделал, закончил, освободился – книга! В ней вся моя "Осень на Луне" и вечно пьяный Лунный Заяц на обложке – это уже окончательная форма, к которой нет смысла возвращаться, и теперь, если я думаю и пишу дальше, то – "Весна на Марсе"! Логично? – Ведь если на Луне осень, то где-то весна, а на Юп...»

«ЗАЯВЛЕНИЕ – АНКЕТА для ЗАЕМЩИКАПО ИПОТЕЧНОМУ СТРАХОВАНИЮ (личное страхование) ВНИМАНИЕ! Пожалуйста, убедитесь, что все необходимые сведения указаны максимально подробно и точно. Ошибки в данной информации могут сделать Договор страхования и страховой полис недействительными. На основании сведений, полученных из него, специалистами...»

«РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ РЕФЕРАТА ПО ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКЕ Каждый студент оформляет реферат на актуальные темы, которые подлежат сдаче на кафедру по окончании практики (не позднее 02 сентября текущего года). При подготовке реферата используется не менее 5-7 современных источников литературы (не старше 5 л...»







 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.