WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 

«Решение. Пусть С(t,r) – центр окружности, вписанной в треугольник АВМ, где А(-а,0), В(а,0), М(x,y). Тогда АС и ВС – биссектрисы треугольника АВМ, отсюда имеем: или Решаем эту ...»

Связь одной кривой третьего порядка и треугольника

Выполнил ученик 11 «б» ГБОУ школа им. Маршала В.И. Чуйкова

Чурилин Александр Дмитриевич

Научный руководитель: Привалов А.А

Основные понятия.

Кривые третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так:

A^3+3B^2y+3Cx^2+D^3+3E^2+6Fxy+3G^2+3Hх+3Ky+L=0 (1)

Пусть y = kx + b — уравнение асимптоты кривой. Как известно, для определения параметров k и b необходимо подставить в уравнение этой кривой вместо у выражение kx+b и, взяв в полученном таким образом уравнении коэффициенты двух членов со старшими степенями х, приравнять их нулю. Получаемая при этом система с неизвестными k и b и служит для их определения.

Для кривой (1) угловой коэффициент асимптоты определится равенством:

A+3Bk+ЗС^2+D^3 = 0. (2)

Второй параметр асимптоты — ее начальная ордината b — определится равенством

(В + 2Ck + D^2)b = — (E+2Fk + G^2) (3),

где k имеет значение, найденное из уравнения (2).

Уравнение (2), будучи кубическим относительно k, даст нам или три действительных значения для k, или одно действительное и два комплексных. Эти значения k и будут определять направление бесконечных ветвей и их количество. Но для того чтобы асимптота в направлении k действительно существовала, необходимо, чтобы при этом значении k начальная ордината b определялась из равенства (3), чего может и не быть.

Таким образом, количество бесконечных ветвей кривой (1) зависит от числа действительных корней уравнения (2); характер ветвей определится равенством (3).

Если при k = k1 где k1 — действительный корень уравнения (2), уравнение (3) имеет решение — действительное число b1 то соответствующая ветвь кривой будет иметь асимптоту y=k1x+b1, т. е. будет ветвью гиперболического типа. Если же решение уравнения (3) при k = k1 не существует или оказывается неопределенным, то соответствующая ветвь кривой будет параболической, т. е. не будет иметь асимптоты.

Постановка задачи.

Для чисел а и r (a>2r) найти геометрическое место точек М(x,y) таких, что в треугольник ОАМ (О(0,0), А(а,0)) вписывается окружность радиуса r.

Решение. Пусть С(t,r) – центр окружности, вписанной в треугольник АВМ, где А(-а,0), В(а,0), М(x,y). Тогда АС и ВС – биссектрисы треугольника АВМ, отсюда имеем:

или

Решаем эту систему уравнений:

Вычитаем из первого уравнения второе и умножаем на), получаем:t+aa-txa+a2-ta-tx-a2+xa+xt-at==r2(xt+a2+ax+at-a2+ax+at-tx)t+aa-t2ax-t=r22ax+ta2-t2x-t=r2(x+t)a2x-t2x-a2t+t3=r2x+tr2xa2-t2-r2=t(r2+a2-t2)x=t(r2+a2-t2)a2-t2-r2 (1)

Эта кривая имеет наклонные асимптоты:

и

где, т.е. когда касательные к окружности (биссектрисы АС и ВС) параллельны.

Найдем уравнение кривой в координатах х и у. Из второго уравнения системы (1) имеем

Подставляя эти равенства в первое уравнение системы (1), после возведения в квадрат, получим

Или

Это уравнение есть уравнение кривой 3-го порядка. Для построения выразим х через у:

Для удобства введем обозначения:

Тогда получим следующее уравнение:

График этой кривой имеет три асимптоты:

Классификация ньютона.

Данная кривая описана в классификации Ньютона и является кривой треть его порядка из первой группы.





все три корня уравнения действительные и различные; кривая имеет три асимптоты и три гиперболические ветви. Кривые этой группы носят название hyperbolae redan- dantes (раскинутые гиперболы);

В нашем случае два корня уравнения равны между собой, а остальные корни или комплексные, или одновременно больше или меньше равных корней; кривая состоит из трех гиперболических ветвей, две из которых пересекаются между собой.

Для демонстрации мы используем программу Graphics3HELP.HTML

И пишем программу на языке Java Script.

Данная программа указана в заметках.

Новая задача.

Далее мы решили посмотреть, что получится, если мы заменим прямую на полуокружность.Формулировка задачи.

Имеется полуокружность(AB). По ней катиться окружность. Из точек A и B проведены касательные к окружности. Вывести уравнение траектории точки пересечения касательных.

Решение:

Мы вводим систему координат.

Чтобы описать движение данной точки нам необходимо найти угол наклона касательной к окружности, то есть найти коэффициент k. Так как из одной точки можно провести две касательные, мы возьмём верхнюю. Получаем некоторые системы уравнений.

y=k(x+R)x-x02+(y-y0)2=r2(1)

y=k1x-Rx-x02+y-y02=r2(2)

Решаем первую систему(1):

x-x02+(k(x+R)-y0)2=r2x2-2xx0+x02+k2(x+R)2-2kx+Ry0+y02-r2=0x2-2xx0+x02+2k2xR+k2x2+k2R2-2kxy0-2kRy0+y02-r2=0(k2+1)x2+2k2R-2ky0-2x0x+x02+k2R2-2kRy0+y02-r2=0D=2k2R-2ky0-2x02-4k2+1(x02+k2R2-2kRy0+y02-r2)Так как нам нужна касательная, нас интересует только, когда одно решение, а значит D = 0.

2k2R-2ky0-2x02-4k2+1x02+k2R2-2kRy0+y02-r2=0

k4R2+k2y02+x02-2k3Ry0+2x0ky0-2k2Rx0-k2x02-k4R2+2k3Ry0-k2y02+

+k2r2-x02-k2R2+2kRy0-y02+r2=02x0ky0-2k2Rx0-k2x02+k2r2-k2R2+2kRy0-y02+r2=0k2-2Rx0-x02+r2-R2+k(2Ry0+2x0y0)-y02+r2=0r2-(x0+R)2k2+2y0R+x0k-y02+r2=0k1=y0 x0+R+ry0 2-r2+(x0+R)2 r2-x0+R2k2=y0 x0+R-ry0 2-r2+(x0+R)2 r2-x0+R2Точно также решаем вторую систему(2):

x-x02+(k1(x-R)-y0)2=r2x2-2xx0+x02+k12(x-R)2-2k1x-Ry0+y02-r2=0x2-2xx0+x02-2k12xR+k12x2+k12R2-2k1xy0+2k1Ry0+y02-r2=0(k12+1)x2+-2k12R-2k1y0-2x0x+x02+k12R2+2k1Ry0+y02-r2=0D=-2k12R-2k1y0-2x02-4k12+1(x02+k12R2+2k1Ry0+y02-r2)Так как нам нужна касательная, нас интересует только, когда одно решение, а значит D = 0.

-2k12R-2k1y0-2x02-4k12+1x02+k12R2+2k1Ry0+y02--r2=0

k14R2+k12y02+x02+2k13Ry0+2x0k1y0+2k12Rx0-k12x02-k14R2-2k13Ry0--k12y02+k12r2-x02-k12R2-2k1Ry0-y02+r2=02x0k1y0+2k12Rx0-k12x02+k12r2-k12R2-2k1Ry0-y02+r2=0k122Rx0-x02+r2-R2+k1(-2Ry0+2x0y0)-y02+r2=0r2-(x0-R)2k12+2y0x0-Rk1-y02+r2=0k11=y0 x0-R+ry0 2-r2+(x0-R)2 r2-x0-R2k12=y0 x0-R-ry0 2-r2+(x0-R)2 r2-x0-R2Далее ищем геометрическое место точек данной кривой с помощью новой системы пересечения двух касательных.

Y=k1(X-R)Y=k(X+R)Выражаем X и Y:

Y=kR(1-k1+kk-k1)

X= - R(k1+kk-k1)Подставляем нужное значение k и получаем координаты кривой:

Y=Ry0 x0+R+ry0 2-r2+x0+R2 r2-x0+R21-y0 x0-R-ry0 2-r2+x0-R2 r2-x0-R2+y0 x0+R+ry0 2-r2+x0+R2 r2-x0+R2y0 x0+R+ry0 2-r2+x0+R2 r2-x0+R2-y0 x0-R-ry0 2-r2+x0-R2 r2-x0-R2X== - R y0 x0-R-ry0 2-r2+x0-R2 r2-x0-R2+y0 x0+R+ry0 2-r2+x0+R2 r2-x0+R2y0 x0+R+ry0 2-r2+x0+R2 r2-x0+R2-y0 x0-R-ry0 2-r2+x0-R2 r2-x0-R2Для демонстрации кривой используем программу MATHCAD.

Что получено?

Получена траектория точки пересечения касательных проведенных из двух заданных точек А и В к окружности, которая катится по прямой (АВ).

Найдены асимптоты этой кривой.

Так же получена траектория точки пересечения касательных проведенных из двух заданных точек А и В к окружности, которая катится по полуокружности (АВ).

Что буду делать дальше?

Найти порядок новой кривой.

Получить траекторию точки пересечения касательных проведенных из двух заданных точек А и В к окружности, которая катится по полуэллипсу (АВ).

Заметки:

Для демонстрации мы используем программу Graphics3HELP.HTML

И пишем программу на языке Java Script.

а=20, b=15

а=20, b=15

function xn(z){return (z*z-r*r)*(a-z)/(a*z-z*z-r*r)}

function yn(z){return 2*r*z*(a-z)/(a*z-z*z-r*r)}

a=40;r=15;h=a/100;h1=a/10;tn=sqrt(a*a-4*r*r);tk=(a+tn)/2;tn=(a-tn)/2;//t0=tn

u[0]=new Array();u[1]=new Array();u[2]=new Array();u[3]=new Array();u[4]=new Array();

u[7]=new Array();u[8]=new Array();

u[5]=new Array();u[6]=new Array();wc[0]='red';wt[0]=2;wc[1]='blue';wt[1]=3;wc[2]='aqua';

wt[2]=2;wc[3]='pink';wt[3]=1;wc[4]='pink';wt[4]=3;wc[7]='red';wc[8]='red';wt[7]=1;wt[8]=1;

i=0;for(t=tn+h1;t<tk-h1;t+=h){u[0][i]=xn(t)+','+yn(t);i++}

u[1][0]='0,0';u[1][1]=a+',0';x=xn(t0);y=yn(t0);u[1][2]=x+','+y;u[1][3]='0,0';

r0=y*a/(sqrt(x*x+y*y)+sqrt((x-a)*(x-a)+y*y)+a);

i=0;for(t=0;t<6.3;t+=.1){u[2][i]=(r*cos(t)+t0)+','+(r*sin(t)+r);i++}

x=xn(tn+h1);u[3][0]='0,0';u[3][1]=x+','+2*r*tn/(tn*tn-r*r)*x;

x=xn(tk-h1);u[4][0]=a+',0';u[4][1]=x+','+2*r*(a-tk)/((a-tk)*(a-tk)-r*r)*(a-x);

i=0;for(t=0;t<6.3;t+=.1){u[5][i]=(r*cos(t)+tn)+','+(r*sin(t)+r);i++}

i=0;for(t=0;t<6.3;t+=.1){u[6][i]=(r*cos(t)+tk)+','+(r*sin(t)+r);i++}

t0+=h;if(t0>tk-h1)t0=tn+h1;

cle();ris(u,wc,wt,3)

't0='+t0+', tk='+tk+', r0='+r0+', r='+r+', a='+a

function yn(z){return (z+r)*sqrt(1-c/z)*c1}

a=20;r=15;n=100;h=.1;c=r*r/(a*a-r*r);c1=sqrt(1/c);c*=2*r;b=(2*r-c)*c1/2;x0=5*c;y0=yn(x0)

u[0]=new Array();u[1]=new Array();u[2]=new Array();u[3]=new Array();u[4]=new Array();u[5]=new Array();

u[6]=new Array();u[7]=new Array();

wc[0]='red';wt[0]=2;wc[1]='red';wt[1]=2;wc[2]='red';wt[2]=2;wc[3]='red';wt[3]=2;wc[4]='aqua';wt[4]=1;

wc[5]='aqua';wc[6]='blue';wc[7]='blue'

i=0;for(x=c;x<x0;x+=h){u[0][i]=x+','+yn(x);u[1][i]=x+','+(-yn(x));i++}

i=0;for(x=-x0;x<-h;x+=h){u[2][i]=x+','+yn(x);u[3][i]=x+','+(-yn(x));i++}

u[4][0]='0,'+y0;u[4][1]='0,'+(-y0);u[5][0]=x0+',0';u[5][1]=-x0+',0';

u[6][0]=-x0+','+(b-x0*c1);u[6][1]=x0+','+(b+x0*c1);u[7][0]=-x0+','+(-b+x0*c1);u[7][1]=x0+','+(-b-x0*c1);

cle();ris(u,wc,wt,3)

'a='+a+', r='+r+', c='+c+', c1='+c1

function xn(z){return z*(a*a-z*z+r*r)/(a*a-z*z-r*r)}

function yn(z){return 2*r*(a*a-z*z)/(a*a-z*z-r*r)}

a=20;r=15;h=a/100;h1=a/5;tk=sqrt(a*a-r*r);tn=-tk; //t0=4*a-h1

u[0]=new Array();u[1]=new Array();u[2]=new Array();u[3]=new Array();u[4]=new Array();

u[7]=new Array();u[8]=new Array();

u[5]=new Array();u[6]=new Array();wc[0]='red';wt[0]=2;wc[1]='blue';wt[1]=3;wc[2]='aqua';

wt[2]=2;wc[3]='red';wt[3]=2;wc[4]='red';wt[4]=2;wc[5]='aqua';wt[5]=1.5;

wc[8]='red';wt[7]=1;wt[8]=1;

i=0;for(t=tn+h1;t<tk-h1;t+=h){u[0][i]=xn(t)+','+yn(t);i++}

u[1][0]=-a+',0';u[1][1]=a+',0';x=xn(t0);y=yn(t0);u[1][2]=x+','+y;u[1][3]=u[1][0];

//r0=y*a/(sqrt((x+a)*(x+a)+y*y)+sqrt((x-a)*(x-a)+y*y)+a);

i=0;for(t=0;t<6.3;t+=.1){u[2][i]=(r*cos(t)+t0)+','+(r*sin(t)+r);i++}

i=0;for(t=-4*a;t<tn-h1;t+=h){u[3][i]=xn(t)+','+yn(t);i++}

i=0;for(t=tk+h1;t<4*a;t+=h){u[4][i]=xn(t)+','+yn(t);i++}

u[5][0]=-4*a+',0';u[5][1]=4*a+',0';

//t0+=h;if(t0>tk-h1)t0=tn+h1;

t0+=h;

if(t0>4*a)t0=-4*a;

//alert('t0='+t0+', tk='+tk+', r0='+r0+', r='+r+', a='+a)

cle();ris(u,wc,wt,3)

't0='+t0+', tk='+tk+', r0='+r0+', r='+r+', a='+a

Источники литературы:

Смогоржевский А.С.: Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. - М.: Госфизматлитиздат, 1961Савелов А. А.: Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. Справочное руководство.- М.: Государственное издательство физико-математической литературы,1960


Похожие работы:

«Министерство образования Республики Башкортостан ГАОУ НПО ПУ№156 Разработка классного часа: Правда о наркотиках Выполнила: Л. Н. Корионова Преподаватель спец.дисциплин с.Ярославка 2012г Сценарий кла...»

«Общие положения В интернатуру на конкурсной основе принимаются лица, имеющие высшее профессиональное образование. Прием в интернатуру проводится на бюджетной и договорной (платной) основе. Ко...»

«Цены указаны с доставкой Код Внешний вид Название Размер (В*Д*Ш) Цена Контейнеры для ТБО К-01 Контейнер для ТБО 0,5 м куб. Высота 1000 мм Длина 800 мм Ширина 600 мм Цена 3 700 Руб. К-02 Контейнер для ТБО 0,63 м куб. Высота 1000 мм...»

«Фестиваль военной песни на тему "Нам дороги эти позабыть нельзя" Ход мероприятия Звучат позывные фестиваля. Ведущий 1. Какою песня быть должна? Об этом спорят очень много. Но, настоящая, она Сама найдет к сердцам дорогу, И никому не заглушить Ее последним криком моды,...»

«Урок "Сходинки до інформатики" 2 клас Тема уроку: Що таке робочий стіл комп’ютера.Мета уроку: навчальна познайомити учнів з об’єктами Робочого стола комп’ютера, навчити керувати вказівником миші, знаходити об’єкти Робочого стола; розвивальна розвивати логічне та абстрактне мислення, зорову па...»

«  азастан РеспубликасыныМемлекеттік ызмет істері жнесыбайлас жеморлыа арсыіс-имыл агенттігі траасыны2016 жылы 22 арашадаы№ 64 бйрыына 2-осымша   Нысан  азастан Республикасы Президенті жанындаы кадр саясаты жніндегі лтты комиссия А кор...»

«Беларускі дзяржаўны ўніверсітэтЗАЦВЯРДЖАЮ Прарэктар па вучэбнай рабоце С.М. Ходзін 2016 г. Рэгістрацыйны № УД – /вуч. Беларуская афарыстыкаВучэбная праграма ўстановы вышэйшай адукацыі па вучэбнай дысцыпліне для спецыяльнасці: 1-21 05 01Беларуская філалогія 2016 г. Вучэбная праграма УВА складзена н...»

«Варламова Мария Сергеевна, 10 класс. Нам, школьникам, в будущем предстоит нелёгкий выбор профессии. Очень важно не ошибиться. В разные времена были востребованы разные специальности. Мы живём в век информационных технологий, и наиболее вос...»









 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.