WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 

«Задание № 26 из сборника ОГЭ 10 вариантов Ященко И.В. Вариант 2. Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и К – ...»

Задание № 26 из сборника ОГЭ 10 вариантов Ященко И.В.

Вариант 2.

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и К – на второй. При этом АС и ВК – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СК.

Решение

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. В прямоугольной трапеции ВКОМ: ВМ=45, МО=45+55=100, КО=55, МНКО, НО=55-45=10, cosМОН=0,1.

В прямоугольном треугольнике ЕОК: cosЕОК=0,1=ОЕ:ОК => ОЕ=5,5.

Треугольник ВМР подобен КОЕ (равны соответственные углы при параллельных прямых) с коэффициентом подобия = 911, значит РМ = 4,5.

Расстояние между прямыми АВ и СК соответствует длине отрезка РЕ = МО-ОЕ+МР=100 – 5,5 + 4,5 = 99.

Ответ: 99.

Аналогичная задача.

1) Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D - на второй. При этом АС и ВD- общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.(Ответ 35)

2) Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D - на второй. При этом АС и ВD- общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD. (Ответ 80)

3) Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D - на второй. При этом АС и ВD- общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Решение

Расстояние между прямыми AB и CD – это FK. FK= NO+ FN-KO.

1) Рассмотрим MAB. Он равнобедренный, так как МА=МВ – касательные, проведённые к окружности из одной точки. Аналогично MCD – равнобедренный.

2) Рассмотрим MAN и MCD. Они прямоугольные, так как NА MA и ОС МС, являются радиусами и касательными. У данных треугольников угол при вершине М – общий, а углы при вершинах А и С - прямые. Данные треугольники подобны по двум углам. Составим пропорцию:

СОАN = МОМN. N0 = сумме двух радиусов. N0=12+52=64. Обозначим MN=х, тогда получим 5212 = 64+хх. Решаем уравнение х=19,2. Значит МN=19,2.

3) АF в прямоугольном МАN, является высотой, проведённой из прямого угла А. Тогда МАN подобен АFN. У подобных треугольников углы равны. FАN=АМN. Значит равны их синусы.

Синус = отношение противолежащего катета к гипотенузе. АN:МN=FN:АN. (*)

4) АFN подобен СКО из равенства соответственных углов при параллельных прямых. Составим пропорцию: АN:СО=FN:КО или FN: АN=КО:СО. Используя (*), получим равенство:

АN:МN=FN:АN=КО:СО. Или 12:19,2= FN:12=КО:52. Следовательно FN=7,5, КО=32,5.

5) Найдём FK= NO+ FN-KO, FК=64+7,5-32,5=39.

Ответ: 39.

Вариант 3

В АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ = 10 : 9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади четырёхугольника КРСМ к площади АВС.

Решение

Треугольники АКМ и СКМ – равновеликие, так как КМ является медианой. Обозначим площадь АКМ= х. Рассмотрим отношение площадей АВК и АМК: высоты, проведённые из вершины А у них равны. Площадь АВК=0,5·АН·ВК, площадь АМК=0,5·АН·МК, где АН – высота, проведённая из вершины А к прямой содержащей стороны ВК и МК. Тогда SАВК : SАМК=0,5·АН·ВК0,5·АН·МК = 109. Или SАВК = 109х.

Рассмотрим отношение площадей АВК и РВК: высоты, проведённые из вершины В у них равны. Площадь АВК=0,5·АК·ВЕ, площадь РВК=0,5·ВЕ·РК, где ВЕ – высота, проведённая из вершины В к прямой содержащей стороны АК и РК. Тогда SАВК : SВРК=0,5·АК·ВЕ0,5·ВЕ·РК = АКРК.





Рассмотрим отношение площадей АКС и СРК: высоты, проведённые из вершины С у них равны. Площадь СРК=0,5·РК·СО, площадь АКС=0,5·АК·СО, где СО – высота, проведённая из вершины С к прямой содержащей стороны АК и РК. Тогда SАКС : SСРК=0,5·АК·СО0,5·СО·РК = АКРК.

Значит SАВК : SВРК = SАКС : SСРК, SАКС = 2·SАКМ = 2х. Получаем 109х : SВРК = 2х : SСРК или

SВРК = 59 SСРК. Пусть SСРК = у, тогда SВРК = 59у.

Треугольники АВМ и СВМ – равновеликие, так как ВМ является медианой. Площадь АВМ равна сумме площадей АВК и АКМ. SАВМ = 109х + х = 199 х.

Площадь СВМ равна сумме площадей РВК, СКР и СКМ. SСВМ = 59у + у + х = 149 у + х.

SАВМ = SСВМ, тогда 199 х = 149 у + х, или 109 х = 149 у. у = 57 х.

SКРСМ = SСРК + SСМК = 57 х + х = 127 х, SАВС = 2·SАВМ =2· 199 х = 389 х.

Получаем, SКРСМ : SАВС = 127 х : 389 х = 54:133.

Ответ: 54:133.

Аналогичная задача В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=7:3. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади четырехугольника КРСМ.

Решение.

Пусть площадь треугольника . Выразим площади треугольника  и четырехугольника  через . Для решения задачи нам понадобится следующий факт: Пусть дан треугольник АВС и точка М на стороне АС, которая делит сторону АС в отношении . Тогда

1.  - так как ВМ - медиана, следовательно, точка М - середина АС и АМ=МС.

2. , так как по условию ВК:КМ=7:3. Следовательно, 

3. Найдем, в каком отношении делит точка Р отрезок ВС. Для этого через точку Р проведем прямую BD параллельно АС. 

Рассмотрим треугольники  и . Треугольник  подобен треугольнику  по двум. . Пусть . Тогда 

Теперь рассмотрим подобные треугольники  и  (они также подобны по двум углам).

Таким образом

Отсюда 

Ответ: 

Вариант 4.

Середина диагонали АС выпуклого четырёхугольника АВСD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 12. Найти площадь четырёхугольника, если ВD = 26.

Решение

Рис.1 Рис.2

Треугольники ALO, AKO, CMO, CHO равны как прямоугольные треугольники по катету и гипотенузе (АО=ОС – О – середина АС, LO=КО=ОН=ОМ по условию). Значит 1 = 2 = 3 = 4 (рис.1). АС является диагональю и биссектрисой. В треугольниках АВС и АDC углы при основаниях равны, следовательно они равнобедренные и они равны между собой по стороне (общая) и прилежащим углам. Четырёхугольник АВСD – ромб. Диагонали ромба перпендикулярны, и точкой пересечения делятся пополам. ОD=ОВ=26:2=13.

В ОDН: DH= 5, tg ODH=12/5.

В ODC: tg ODC = OC/OD=12/5 => OC=13·12:5=31,2.

АС=2·ОС=62,4.

Найдем площадь ромба через полу произведение диагоналей. S=AC·BD:2= 26·62,4:2 = 811,2.

Ответ: 811,2.

Аналогичная задача. Середина диагонали ВD выпуклого четырёхугольника АВСD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 7. Найти площадь четырёхугольника, если АC = 50. (Ответ:4375/12)

Вариант 5.

Точка О является основанием высоты, проведённой из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке О и радиусом ОА пересекает прямые АВ и АС в точках Р и М, отличных от А, соответственно. Найдите АС, если АВ =9, АР = 8, АМ = 6.

Решение

Обозначим радиус окружности через х, тогда МО=ОА=ОР=х.

В АОВ: cos ОАВ = ОА : АВ= х : 9.

В АОР: cos ОАР = cos ОАВ=х : 9, по теореме косинусов ОР = ОА+ АР - 2·ОА·АР· cos ОАР или

х = х + 8 - 2·х·8·х:9, 16/9 х = 64 => х = 6.

Треугольник АОМ – равносторонний, все стороны = 6. Значит все углы = 60°.

В АОС: О = 90°, А = 60°, С = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Получаем, что АС = 2·АО = 6·2=12.

Ответ: 12.

Аналогичная задача

Точка О является основанием высоты, проведённой из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке О и радиусом ОА пересекает прямые АВ и АС в точках Р и М, отличных от А, соответственно. Найдите АС, если АВ =40, АР = 20, АМ = 32.

Ответ: 25.

Вариант 7.

В АВС биссектриса ВЕ и медиана АМ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника АВС.

Решение

Треугольники АВО и МВО равны по общему катету ВО и острому углу при вершине В (ВЕ – бис-са угла В). Значит АВ=ВМ=0,5ВС и АО=ОМ=30. ВО – медиана, бис-са и высота в равнобедренном треугольнике АВМ.

Пусть АВ = х, АЕ=к, АС=у, тогда ВМ=2х, ЕС=у-к. Для бис-сы ВЕ АВС верно равенство:

АЕ : АВ = ЕС : ВС или к : х = (у-к) : (2х) или 2к = у-к, 3к = у, к = 1/3 у.

Для медианы АВС верно равенство: АМ = АВ2 + АС2 - ВС460 = х2 + у2 - 4х4,

у = 7200 + х.

Для бис-сы ВЕ АВС верно равенство:

ВЕ = АВ·ВС - АЕ·ЕС

3600 = х·2х – 1/3 у·2/3 у,

2х - 29 7200+х2=3600,х = 1513, у= 7200+ 2925 = 10125, у = 455.

Получаем, что АВ = 1513, АС = 455, ВС = 3013.

Ответ: АВ = 1513, АС = 455, ВС = 3013.

Аналогичная задача В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину равную 168. Найдите стороны треугольника АВС

Ответ:  AB = 4213; BC = 8413; AC = 1265.

Задания из Ященко 30 вариантов

Вариант 1

Углы при одном из оснований трапеции равны 19° и 71°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 12 и 10. Найти основания трапеции.

Решение К

2032000508001638300381000021209002540000

1803400106680002438400939800073660011938001587500106680 В Т С

М О Н

1193800609600

A Р D

7112004064000

Трапеция АВСD, А=19°, угол D=71°, МН-средняя линия = 12, М € АВ, Н € СD, АМ=МВ, СН=НD, ТР=10, Т € ВС, Р € АD, ВТ=ТС, АР=РD, точка О пересечение МН и ТР, МО=ОН=МН/2=12/2=6, ТО=ОР=ТР/2=10/2=5.

Продлеваем боковые стороны до пересечения их в точке К, треугольник АКD прямоугольный, угол К=180° - А- D =180°-19°-71°=90°.

Треугольник МНК прямоугольный, КО - медиана=1/2гипотенузы МН=12/2=6, КТ=КО-ТО=6-5=1, треугольник ВКС прямоугольный, КТ-медиана=1/2гипотенузыВС, ВС=2*КТ=2*1=2, КР-медиана в прямоугольном треугольнике АКD=1/2гипотенузы АD, АD=2*КР=2*(КТ+ТР)=2*(1+10)=22.

Аналогичная задача Углы при одном из оснований трапеции, равны 44 и 46 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны 14 и 6. Найдите основания трапеции. 

Ответ: 8 и 20.




Похожие работы:

«Приложение № 2 к Публичной оферте ОсОО "Визион" (Vision) Правила расчетов, тарифы за услуги. Правила расчетов за услуги предоставления Абоненту права доступа к Подписке (далее – Услуги).1. Оплата Услуг Оператора осуществляется Абонентом в порядке предоплаты путем внесения Абонентской платы за Срок дей...»

«Питанов В.Ю. САХАДЖА-ЙОГА: КУЛЬТ "БОГИНИ"ШРИ МАТАДЖИ НИРМАЛА ДЕВИ.тогда рассудительность будет оберегать тебя, разум будет охранять тебя, дабы спасти тебя от пути злого, от человека, говорящего ложь. Прит.2:11-12. Религиозный рынок со...»

«ГИДРОСТАТИКА Давление тела на поверхность — это отношение модуля силы тяжести тела к площади соприкосновения силы воздействия тела на поверхность к площади соприкосновения перпендикулярной составляющей силы воздействия тела на поверхн...»

«Бункер хранения сухих кормов БСК-60 Инструкция по сборке. Начинать сборку с цилиндрической части. Соединять детали цилиндрической части по вертикальным стыкам. Болты М8х25 по канавкам ставятся гайкой наружу, а по плоскости – М8х15...»

«emco Bau 720/22 emco Переливные решетки, тип 720 Направление профилей Гибкая переливная решетка с поперечными относительно кромки бассейна профилями. Описание Стабильная, прочная и приятная дл...»

«Доставкаобедоввофис.рф Отличное решение вопроса вкусного питания для Вас и Ваших сотрудников! Мы о-очень вкусно кормим людей!-62713710548-916-659-19-60 8-910-437-36-46 www.obedovdostavka.ru 008-916-659-19-60 8-910...»

«Explosion – взрыв; Incident – проишествие; Suffer – страдать; Casualty – потери; Anticipate – ожидать; Defeat – наносить поражение; Striking – поразительный; Damage – вред; Stunning – ошеломляющий; Convince – убеждать; Al...»

«Сценарии новогоднего праздника "Зимняя сказка" 2011г.Для детей старшей и подготовительной группы Действующие лица: Ведущий.Снегурочка. Дед Мороз.Кощей. Баба Яга. Кот Драник. Дети вбегают в зал, встают вокруг ёлки. Ёлка не горит. Ведущая: С...»

«Бюро стандартизации электросвязи Женева, 24 марта 2014 года Осн.:Тел.:Факс:Эл. почта: Циркуляр 89 БСЭTSB Workshops/A.N.+41 22 730 5126+41 22 730 5853tsbworkshops@itu.int–Администрациям Государств – Членов Союза–Членам Сектора МСЭ-Т–Ассоциированным членам МСЭ-Т–Академичес...»

«Содержание Лабораторная работа №1..3 Лабораторная работа №2..7 Лабораторная работа №3..13 Лабораторная работа №4..16 Лабораторная работа №5..27 Лабораторная работа №1 Разработка описания и анализ информационной системы1.Цель работы: описать и проанализиро...»







 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.