WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 

«На доске написали натуральные числа. 1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел ...»

На доске написали натуральные числа…

1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 396. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 25 заменили на число 52).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел. [*]

Решение. а) Если взять числа 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, сумма которых равна 99, то после перестановки цифр сумма получившихся чисел 297 в 3 раза больше, чем 99. Возьмём четыре такие группы чисел, их сумма 396, а сумма чисел, полученных после перестановки цифр, в 3 раза больше.

Здесь использованы двузначные числа, у которых увеличение числа при перестановке его цифр близко к трём: у числа 14 — в 21314 раза, у числа 15 — в 3,4 раза. Далее составляли из них группу двузначных чисел, у которой при перестановке цифр сумма чисел увеличится ровно в 3 раза.

б) Если взять числа 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, сумма которых 99, то после перестановки цифр сумма получившихся чисел 198 будет в 2 раза больше, чем 99. Сумма чисел в четырех таких группах равна 396, а после перестановки цифр — в 2 раза больше. Ответ на вопрос: да.

в) Наибольшее увеличение двузначного числа при перестановке его цифр у числа 19 — в 41519 раза. Так как 396 = 20 19 + 16, то возьмём 20 чисел 19 и 1 число 16. После перестановки цифр получим числа, сумма которых равна 20 91 + 1 61 = 1881. Увеличить сумму получившихся чисел с тем же их количеством нельзя. Например, замена суммы 19 + 16 на равную ей сумму 18 + 17 не меняет суммы чисел после перестановки цифр, так как 91 + 61 = 81 + 71.

Если же мы будем увеличивать количество чисел в группе, то в ней уменьшится количество чисел 19, а новая полученная сумма цифр окажется меньше, чем 1881. Это означает, что сумма 1881 — наибольшая.

Ответ. а) 24 числа 14 и 4 числа 15; б) да; в) 1881.

2. На доске было написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел. [1-42]

Решение. а) В группе чисел 12, 13, 18, 18, 19, 19 после перестановки цифр сумма увеличивается в 4 раза — с 99 до 396. В группе чисел 15, 16, 17, 18 после перестановки цифр сумма тоже увеличивается в 4 раза — с 66 до 264. Возьмём три первых группы чисел и одну вторую. Первоначальная сумма чисел составит 99 3 + 66 = 363, а после перестановки цифр — она станет в 4 раза больше.

б) Пусть существует группа двузначных натуральных чисел, в которой после перестановки цифр сумма чисел группы удваивается. Пусть сумма цифр десятков всех чисел группы равна a, а сумма цифр единиц всех чисел группы равна b. Тогда 10a + b = 363, а 10b + a = 726. Вычтем из второй суммы чисел первую, получим равенство: 9b – 9a = 363. Левая часть равенства делится на 9, а правая — нет, что невозможно. Ответ на вопрос: нет.





в) Наибольшее увеличение двузначного числа при перестановке его цифр у числа 19 — в 41519 раза, затем у числа 18 — в 4,5 раза. Возьмём 3 числа 19 и 17 чисел 18. После перестановки цифр получим числа, сумма которых равна 3 91 + 17 81 = 1650. Увеличить сумму получившихся чисел с тем же их количеством нельзя. Например, замена суммы 19 + 16 на равную ей сумму 18 + 17 (и наоборот) не меняет суммы чисел после перестановки цифр, так как 91 + 61 = 81 + 71.

Если же мы будем увеличивать количество чисел в группе, то в ней уменьшится количество чисел 19 и 18, а новая полученная сумма чисел окажется меньше, чем 1650. Это означает, что сумма 1650 — наибольшая.

Ответ. а) Три раза 12, 13, 18, 18, 19, 19 и 15, 16, 17, 18; б) нет; в) 1650.

Сюжет задачи меняется, но опять пишем натуральные числа на доске.

3. На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске. [2-29]

Решение. а) Если первоначально на доске записали 3, 1 и восемнадцать чисел 2, то их сумма равна 40, а среднее арифметическое равно 2. Уменьшим одну единицу на 1 и сотрём полученный 0 — получится 19 чисел, их сумма равна 39, а среднее арифметическое равно 3919 > 2. Ответ на вопрос: да.

б) Пусть написали 20 чисел, среднее арифметическое которых равно 27. Среди них должны быть единицы — иначе не удастся повысить среднее арифметическое группы чисел после стирания нулей. Пусть на 1 уменьшили x единиц. После описанной процедуры количество чисел в группе и их сумма уменьшились на x. Учитывая, что среднее арифметическое полученной группы чисел равно 34, составим уравнение:

540-x20-x = 34.

Так как уравнение не имеет натурального корня, то получить среднее арифметическое 34 не удастся.

в) По условию задачи среднее арифметическое данных 20 чисел равно 27, тогда их сумма 540. Наибольшее среднее арифметическое можно получить, если среди данных чисел будет наибольшее возможное число единиц. Возьмём 6 троек чисел 40, 40, 1 и два числа 27. Среднее арифметическое 20-ти чисел равно 27. Получить больше единиц нельзя. Из шести единиц получим нули и сотрём их, останется 14 чисел, среднее арифметическое которых равно 540 - 620 - 6 = 3817, увеличить его нельзя.

Ответ. а) Да; б) нет; в) 3817.

4. На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске не изменилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 30. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 32?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 30. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске. [*]

Ответ. а) Да; б) нет; в) 3923.




Похожие работы:

«2012-2013 уч. года Секция "Волейбол" Севостьянов Е.В. Районная товарищеская встреча по волейболу ко "Дню здоровья" девушки-1место, Районная товарищеская встреча по волейболу среди сборных команд девушки-3 место юноши-3 место, Районное первенство по волейболу памяти А.Н.Черницина в п. Теплый-Ключучастие, Республи...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИП О С Т А Н О В Л Е Н И Е №_ Иркутск О внесении изменения в пункт 1 постановления Правительства Иркутской области от 14 октября 2011 года № 313-пп В целях введения на территории Иркутской области дополнительных ограничений...»

«О внесении изменений в постановление Правительства Республики Казахстан от 1 октября 2007 года № 862 Об утверждении Правил замены и уничтожения Государственного Флага, Государственного Герба Республики Казахстан, не соо...»

«Мониторинг в системе образования – комплексное аналитическое отслеживание процессов, определяющих количественно – качественные изменения качества образования, результатом которого является уста...»

«номер по каталогу Наименование Объём, мл/грбаллы Клиентские цены Дистрибьюторские цены ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПИТАНИЕ 167 ProBioStyle Ф-S 36 10,0 1000 720,00 174 ProBioStyle Calcium D3 80 10,0 1100 792,00 178 ProBioStyle ПробиЛайф100 10,0 1270 1016,00 ДЛЯ САДА/ОГОРОДА 150 Agro...»

«Ивановский городской комитет по управлению имуществом сообщает о результатах сделок приватизации по продаже в собственность объектов муниципальной собственности: Объект продажи – нежилое помещение площадью 13,2 кв.м, расположенное по адресу: г....»

«Каждый руководитель знает, что в летний период времени, когда столбик термометра зашкаливает за отметку 30 градусов, работоспособность сотрудников падает. В офисном или ином помещении, где сосредоточена компьютерная техника, к...»

«1. Грибы паразиты человека и животных, их строение и размножение Существует около 100000 видов грибов, разнообразных по внешнему виду и строению. Среди грибов есть микроскопически малые и гигантские организмы. Продолжительност...»







 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.