WWW.DOCX.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет материалы
 

«Лекция к уроку № 15-16 Натуральные, целые, рациональные числа и операции над ними. Действительные числа. Простые и составные числа  1. Натуральные ...»

Лекция к уроку № 15-16

Натуральные, целые, рациональные числа и операции над ними. Действительные числа. Простые и составные числа

 1. Натуральные числа

Понятие числа развивалось на протяжении многих столетий. Сначала в процессе счета появились натуральные числа.

 Определение. Натуральными числами называются числа, полученные при счете. Обозначение:

.

 На множестве натуральных чисел можно ввести операции сложения и умножения. Это означает, что результатом введенной операции будет также натуральное число. Обозначения:

 , где a – первое слагаемое, b – второе слагаемое, c – сумма,

 , где a– первый сомножитель, b – второй сомножитель, c – произведение.     

Замечание. В математике эти операции вводят аксиоматически, то есть определяется система аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения.

2. Целые числа

Далее, в процессе развития понятия числа появилось число ноль и отрицательные числа, что дополнило ряд натуральных чисел.

Определение. Целыми числами называются натуральные числа, им противоположные и ноль. Обозначение:

.

Определение. Числом, противоположным числу a называется число

.

Замечание. Нужно отметить, что в двух последних определениях дважды встречается понятие противоположного числа, определяемое одно через другое. Это некорректно с точки зрения математики. Как мы отмечали выше, корректное определение дается с помощью системы аксиом, на которых мы не останавливаемся, чтобы не усложнять содержание.



В результате появления отрицательных чисел и нуля стало возможным введение операции вычитания, которая, если строго ее определить, есть операция сложения, в которой второе слагаемое заменяется противоположным по знаку: .

Результатом введенной операции также будет целое число (даже если a и b– натуральные числа). Обозначения:

, где a – уменьшаемое,b – вычитаемое, c – разность.

3. Рациональные числа

В результате практических потребностей измерения величин появилось понятие дроби, в связи с этим появилось понятие рационального числа.

Определение. Рациональными числами называются числа вида , где p – целое число, а q —  натуральное число. Обозначение:

.

Такое ограничение на знаменатель исключает появление нуля в знаменателе и многозначности в определении числа. В результате определения рационального числа появилось понятие обратного к натуральному числу a числа.

Определение. Число  называется обратным к числу .

Определив понятие рационального числа в виде дроби, можно ввести операцию деления на множестве рациональных чисел, как умножения на обратное число:

.

Результатом введенной операции будет рациональное число (даже если a и b– натуральные числа). Обозначения:

, где a– делимое, b – делитель, c – частное.

4. Действительные числа

Кроме четырех арифметических операций существуют еще ряд операций – возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, потенцирование и так далее. Не останавливаясь на определении этих операций, отметим только, что их результатом может быть число, не являющееся рациональным. Например, можно показать, что   нельзя представить в виде дроби вида , где p – целое число, а q —  натуральное число. Для такого числа можно написать приближенное значение в виде дроби с некоторой  степенью точности. Такие числа носят названиеиррациональных. Доказано, что между двумя любыми сколь угодно близкими по значению рациональными числами существует бесконечное число иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел (обозначается множество действительных чисел через R). Имеет место следующее соответствие между множествами чисел: .





5. Простые и составные числа

Натуральные числа можно разбить на два класса – простые и составные числа.

Определение. Натуральное число n называется простым числом, если оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого этого числа.

Существуют таблицы простых чисел. Запишем несколько первых их них: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…

Определение. Натуральное число n называется составным числом, если его можно представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых больше единицы.

Самым маленьким составным числом является число .  Как же узнать, будет ли данное число составным или простым? Как разложить составное число на простые множители? Укажем некоторые известные правила.

I. Натуральное число nявляется составным числом, если оно делится на некоторое меньшее его число, отличное от единицы.

В школьном курсе математики предлагается следующий алгоритм разложения числа на простые множители:

Шаг.1. Записать данное число. Справа от него провести вертикальную линию.

Шаг 2. Найти наименьший, отличный от единицы простой делитель b  числа и записать его справа от заданного числа. Записать под заданным числом частное c от деления на b.

Шаг 3. Если c=1, то получено разложение на простые множители. Если , перейти к шагу 2.

Пример. Разложить число 660 на простые множители.

Получим , так как последовательно имеем:

         

II. Каждое составное число n имеет делитель больший единицы и такой, что его квадрат не превосходит n.

Поэтому делители составного числа n следует искать среди чисел, квадраты которых не больше, чем n что значительно сокращает количество делений.

Пример. Выяснить, является число 157 простым или составным.

Так как , то простые делители следует искать среди чисел 2, 3, 5, 7, 11. Проверкой убеждаемся, что ни одно из этих чисел не является делителем числа 157, значит, это число является простым.

III. Метод Ферма разложения числа на множители

Этот метод был предложен французским математиком П.Ферма и основан на следующем факте: если число n можно представить в виде разности квадратов, то разложение числа nна множители получено, так как .

Будем последовательно строить числа вида  и проверять, являются ли они квадратом некоторого числа. Можно упростить вычисления, получив следующее число  из предыдущего  добавлением числа 2a+1. Это следует из тождества

.

Пример. Разложить число 1363 на множители методом Ферма.

Так как , то начальное значение a равно 37 и первый член последовательности равен . Число 6 не является полным квадратом, поэтому получим число a+1 путем прибавления к предыдущему значению числа . Получим . Поэтому имеем:

.

Ответ. .

Приближенные значения действительных чисел

Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа  пользуются приближенным равенством 3,141 или  3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, 3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001; 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку  3,14, по избытку  3,15.

Пример 1. Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел:

Решение,

а) Мы знаем, что  = 2,236... (см. § 27), следовательно,   2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01;   2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. б) 2 + = 2,000... + 2,236... = 4,236.... Значит, 2 +  4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 +  4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. в) Имеем   0,31818... (см. § 26). Таким образом,   0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01;   0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением натуральные числа.

Определение. Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это | х - а |. Например, погрешность приближенного равенства  выражается как или соответственно как ,Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим правилом:

Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно брать приближение по недостатку, если больше 5, то по избытку.

Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей.

1)  = 3,141592.... С точностью до 0,001 имеем 3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.

С точностью до 0,0001 имеем  3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку:  3,14.

2) = 2,236.... С точностью до 0,01 имеем   2,24 (приближение по избытку).3) 2 +  = 4,236.... С точностью до 0,01 имеем 2 +  4,24 (приближение по избытку). 4)  = 0,31818.... С точностью до 0,001 имеем   0,318 (приближение по недостатку). Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупненный фрагмент координатной прямой (рис. 114).

Точка  принадлежит отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка не превосходят длины отрезка. Расстояния точки  от концов отрезка равны соответственно отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит,  и Итак, в обоих случаях (и для приближения числа  по недостатку, и для приближения его по избытку) погрешность не превосходит 0,001.

До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использовании терминологии.

Если а — приближенное значение числа х и , тo говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что число х равно числу а с точностью до h.

Почему же важно уметь находить приближенные значения чисел? Дело в том, что практически невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. Во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью).

Урок № 17-18

Практическая работа № 3

«Понятие числа. Приближенные значения величин»

(см. приложение)

Лекция к уроку № 19-20

Понятие комплексного числа

На данном уроке мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами и немного рубить в тригонометрии.

Урок состоит из следующих параграфов:

Понятие комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Возведение комплексных чисел в степень.

Извлечение корней из комплексных чисел.

Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Комплексным числом  называется число вида , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью ()комплексного числа , число  называется мнимой частью () комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:  или переставить мнимую единицу:  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:  

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Если множество действительных чисел принято обозначать буквой  , то множество комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:

 – действительная ось;  – мнимая ось

1483995-110490

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать размерность, отмечаем: ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу  по мнимой оси.

Рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

, , ,, , ,, , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось  обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел  является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , ,  – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , ,  и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

Лекция к уроку № 21-22

Сложение и вычитание комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились,  – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа , 

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Примеры:

1). (1 + i) + (2 - 3i) = 1 + i + 2 -3i = 3 - 2i;

2). (1 + 2i) - (2 - 5i) = 1 + 2i - 2 + 5i = -1 + 7i.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел  и , если , 

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная: 

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Лекция к уроку № 23-24

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  , 

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным.

Повторим правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Распишем подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что 

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть 

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишем подробно:

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ: 

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Пример 6

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда для решения предлагается навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что 

Лекция к уроку № 27-29

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в тригонометрической форме:, где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что : 

Модулем комплексного числа  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинарадиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа  стандартно обозначают:  или 

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа  называется угол  между положительной полуосью действительной оси  и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа  стандартно обозначают:  или 

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:. 

Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 7

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .Выполним чертёж:

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: 

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .Очевидно, что  (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Ясно, как день, обратное проверочное действие: 

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Очевидно, что  (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .Очевидно, что  (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка: 

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:  (270 градусов), и, соответственно: .

Проверка: 

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла:  (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: 

Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...».  Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

1) Если  (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если  (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если  (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

Я представлю в комплексной форме числа  и , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.Поскольку  (случай 2),

то  – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:  – число  в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Поскольку  (случай 1),

то  (минус 60 градусов).

Таким образом:  – число  в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Числа  и  представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

Показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в показательной форме:, где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа  предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: , . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .

Число  в показательной форме будет выглядеть так: 

Число  – так:  И т.д.

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Извлечение корней из комплексных чисел.Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня: и

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку: и

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , ,  и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Пример 14

Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным школьным формулам получаем два корня:, или  – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение  имеет два сопряженных комплексных корня: , 

Думаю, теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени  имеет ровно  корней, часть из которых может быть комплексными.

Давайте рассмотрим простой пример для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти корни уравнения  и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь n может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при  получается квадратный корень 

Уравнение вида  имеет ровно  корней , которые можно найти по формуле:, где  – это модуль комплексного числа ,  – его аргумент, а параметр  принимает значения: 

Пример 16

Найти корни уравнения 

Перепишем уравнение в виде 

В данном примере ,  , поэтому уравнение будет иметь два корня:  и .Общую формулу можно сразу немножко детализировать:, 

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :. Число  располагается в первой четверти, поэтому:

Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ: , 

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: .

Практическая работа № 4-1

Вычислите сумму, разность, произведение и частное чисел

z1+z2; z1-z2; z2-z1; z1*z2; z1/z2; z2/z1

Вариант 1 Вариант 2

z1=-1-5i, z2=3+9i z1=2-3i, z2=1+6i

z1=6+2i, z2=4-7i z1=-3-8i, z2=1+4i

Эталон ответа:

Вариант 1

z1+z2 = -1-5i+3+9i = 2+4i

z1-z2 = -1-5i-3-9i = -4-14i

z2-z1 = 3+9i +1+5i = 4+10i

z1*z2 = (-1-5i)*(3+9i) = -3-15i-9i+45 = 42-24i

z1/z2 = (-1-5i)/(3+9i) = (-1-5i)(3-9i)/(3+9i)(3-9i) = (-3-15i+9i-45)/(9-27i+27i+81) =

(-48-6i)/90 = -[(8+i)/15]

z2/z1  = (3+9i)/(-1-5i) = (3+9i)(-1+5i)/(-1-5i)(-1+5i) = (-3-9i-15i+45)/(1+5i-5i+25) =

(42-24i)/26 = (21-12i)/13 = [3*(7-4i)]/13

Похожие работы:

«Аннотация к рабочей программе по химии для 11 класса (базовый уровень) Рабочая программа по химии составлена на основе Примерной программы среднего общего образования по химии (базовый уровень),...»

«АЛЛЕРГИЯ И АЛЛЕРГИЧЕСКИЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ. Глава 1. Аллергия.1.Введение, классификация.2.Реагиновый (IgE) тип аллергических реакций (гиперчувствительность немедленного типа, ГНТ).2.1.Защитная роль ГНТ.2.2.Повреждающая роль ГНТ3.Гиперчувстви...»

«Дата_ Класс_ Тема: Практическая работа №6 "Решение экспериментальных задач по теме "Металлы и их соединения"". Цели урока: проверить ЗУН по пройденной теме "Металлы". Ход работы1. Организационный момент урока.2. Выполнение практической работы. Задача №1. Свойства железа и его соединений.Осуществите превращения по схеме: Fe  Fe3O...»

«422275-53975ХЦПА “Христианский центр прикладной апологетики” Тел: (+38097) 88-16-777 Email: XCPA@ukr.net 07.12.2012г. г. Николаев ДОКЛАД № 2 "ПРОЕКТ ЧИСТОЕ НЕБО"План: Атака с неба. Предисловие. Что такое "химслед" (химтрэйл) или "химиотрасс...»

«161290518160 Поурочное планирование по химии, 10 класс, базовый уровень (2 ч в неделю, всего 70 ч. из них 2ч – резервное время), УМК О.С. Габриеляна №№ п/пТема урока Изучаемые вопросы Эксперимент Д.демонстрац. Л.лабораторный Требования к уровню подготовки выпускников Введение (2часа) 1 (1) Предмет органической химии Сра...»

«Окислительно – восстановительные реакции в неорганической химииВосстановители и продукты их окисления: Восстановители Продукты окисления Условия Металлы, м М+, М2+, М3+ кислая и нейтральная средаМеталлы, образующие амфотерные гидроксиды: Ве, Zn, Al Zn(OH)42-,...»

«Интересно На США приходится 1/6 всей добывающей промышленности мира. Национальный символ Ливана – кедр. Нержавеющая сталь – сплав Fe+Cr+Ni. Нилоты в Африке – самый темнокожий и высокий народ в мире.Общий объём мирового товарного экспорта (2000 г. – около 5,5 трлн. долл...»

«Министерство образования Российской Федерации Ивановский Государственный Химико-Технологический Университет Кафедра философииР Е Ф Е Р А ТНа тему: “Интуитивное и дискурсивное в процессе познания” Выполнил: аспирант Сонин А. В. Проверил: Зеленцова М. Г. Иваново 2002 г....»

«Кафедра основ Химической Технологии КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАпо теме "Реакторы идеального вытеснения" Вариант № 14 реактор газовый поток вытеснение В Р.И.В. Проводят окисление SO2. Объем реакционной зоны 150 м2. Объемный расход смеси...»

«2084070-525780 Паспорт Безопасности Дата обновления: 24-июля-2015Номер обновления: 11. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОДУКЦИИ И КОМПАНИИ Наименование Продукции ЛАТЕКСНАЯ ГРУНТОВКА С НУЛЕВЫМ СОДЕРЖАНИЕМ ЛОВ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАБОТ БЕЛАЯ SUPER HIDE ZERO VOC INTERIOR LATEX PRIMER WHITE Код продукции 35400 Класс КРАСКА НА ВОДНОЙ ОСНОВЕ Цв...»








 
2017 www.docx.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.